圆x^2+y^2+2x+4y-m=0上有且仅有两个点到直线x+y+1=0的距离为√2,到实数m的取值范围为

x^2+y^2+2x+4y-m=0
(x+1)^2+(y+2)^2=m+5=r^2
从图上看,圆心在直线的左下方,半径太小时,无法满足要求,而半径大于某一个数值后,总能找到满足要求的点

最小半径就是圆的一条与直线x+y+1=0平行,且距离为√2的切线到圆心的距离.

所以,先构造一条与x+y+1=0平行,且距离为√2,位置在下方的直线:
这条直线就是:x+y+2=0
x+y+2=0与(x+1)^2+(y+2)^2=m+5只有1个交点,则切线到圆心的距离为:√2/2
也就是半径=√2/2时,只有1个点到到直线x+y+1=0的距离为√2

m+5>1/2
m>-4.5

实数m的取值范围为m>-4.5